MECÂNICA QUÂNTICA II

Curso de Eng. Física

Série 7

1. Considere a equação de Klein-Gordon, para uma partícula livre, $[\partial_\mu \partial^\mu + (m_0c/\hbar)^2]\psi=0$. Determine:

a) A forma geral da densidade de probabilidade e da corrente de probabilidade.

b) As funções de onda.

c) A densidade de probabilidade para as funções de b). Discuta o resultado.

2. Como se transforma a equação de Klein-Gordon quando a partícula é posta num campo electromagnético? Considere o caso particular do campo de Coulomb. Obtenha a equação radial.

3. Considere a equação de Dirac para uma partícula livre, $(E - Ho)\phi = 0$, com $H_0 = c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta m_0 c^2$ e $\vec{\alpha},\beta$, matrizes de dimensão 4. Determine as condições a que $\vec{\alpha}$ e $\beta$ devem satisfazer para que H₀ descreva uma partícula relativista.

4. Calcule $[H_0,\vec{r}\times\vec{p}]$ e $[H_0,\vec{\sigma}]$, onde $\vec{\sigma}$ tem como componentes as matrizes de Pauli. Podemos dizer que $\vec{L}$ se conserva? Justifique.

5. Determine a forma geral da densidade de probabilidade e da corrente de probabilidade, para uma partícula que obedece à equação de Dirac.

6. Resolva a equação de Dirac para uma partícula livre, no referencial próprio da partícula.

7. Escreva a equação de Dirac na sua forma covariante. Como se transforma na presença de um campo electromagnético? Considere o caso particular de um campo central V(r), e determine a equação radial fazendo uma redução não relativista, onde se consideram energias não relativistas $E^{\prime}$, com $E = E^{\prime} + m_0c^2$ e $\frac{E^{\prime}-V}{2m_0c^2}<1$. Discuta o significado físico dos vários termos do Hamiltoniano.

Formulário

$$(\vec{\sigma}\cdot\vec{A})(\vec{\sigma}\cdot\vec{B}) = \vec{A}\cdot\vec{B} + i\vec{\sigma}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$$

$$\vec{\alpha}=\left( \begin{array} {cc} 0 & \vec{\sigma} \ \vec{\sigma} & 0 \end{array}\right)$$

$$\beta=\left( \begin{array} {cc} I & 0 \ 0 & -I \end{array}\right)$$

$$\vec{\nabla}f(r) = df/dr\vec{e}_r$$