MECÂNICA QUÂNTICA II

Curso de Eng. Física

Série 5

1. Um sistema pode fazer uma transição entre dois estados discretos $\vert\phi_i \gt$ e $\vert\phi_j \gt$ pela acção de uma perturbação $H_1(t) = h \cos\omega t$, que actua para t > 0.

a) Determine a probabilidade de transição.

b) Discuta a possibilidade de o sistema ter comportamento ressonante.

c) Para o caso particular $\omega = 0$, caso de uma perturbação constante, represente gráficamente a probabilidade de transição. Comente o resultado obtido.

2. Um oscilador harmónico linear, no estado fundamental, fica sujeito a uma força F₀ constante, que é removida bruscamente no instante t=t₀. Obter a probabilidade de transição para o primeiro estado excitado, sabendo que as funções de onda são da forma $\psi_n(x) = c_nH_n(\xi)\exp(-\xi^2/2)$, com $\xi = \sqrt{(m\omega/\hbar)}x$.

3. A interacção de dipolo eléctrica pode ser representada pelo operador $\alpha\vec{\epsilon}\cdot\vec{p}$ ou por $\beta\vec{\epsilon}\cdot\vec{r}$. Mostre que os elementos de matriz de $\vec{p}$ e $\vec{r}$ são proporcionais na base de funções $\vert\phi_n \gt$ de H, com $H\vert\phi_n \gt= E_n\vert\phi_n \gt$ (sugestão: considere $[H,\vec{r}]$).

4. Mostre que um oscilador harmónico linear só tem transições de dipolo eléctricas entre estados com $\Delta n = +1, -1$. Determine a frequência da radiação emitida ou absorvida.

5. Um átomo de Hidrogénio no estado fundamental foi posto num campo eléctrico $E = E_0 \sin \omega t$. Qual é a probabilidade por unidade de tempo de o átomo ser ionizado, supondo que no estado final o electrão é descrito por ondas planas normalizadas numa caixa (sugestão: usar a regra de ouro de Fermi, pois trata-se duma transição para o contínuo).

Formulário

$$I_n = \int_0^x x_0^n e^{x_0} dx_0 = x^n e^x - n I_{n-1} ; I_0 = e^x - 1.$$

$$Y_{00} = 1/\sqrt{4\pi}; Y_{10} = \sqrt{3/4\pi}\cos\theta; Y_{1\pm 1} = \mp\sqrt{3/8\pi} e^{\pm i\phi} \sin\theta.$$

R₁₀ = A e^-Zr/a₀; R₂₀ = B(2 - Zr/a₀) e^-Zr/(2a₀); R₂₁ = C(Zr/a₀) e^-Zr/(2a₀).

$$A = 2(Z/a_0)^{3/2}; B = (Z/2a_0)^{3/2}; C = (Z/2a_0)^{3/2}/\sqrt{3}.$$

$$I_n = \int_0^\infty x^n e^{- a x^2} dx ; I_0 = \sqrt{\pi/a}/2 ; I_1 = 1/(2a) ; I_2 = \sqrt{\pi/a^3}/4 ;$$

$$I_3 = 1/(2 a^2) ; I_4 = 3\sqrt{\pi/a^5}/8$$