1. Mostre as seguintes relações:
se se verificar
[[A,B],A]=[[A,B],B]=0
b)
c)
d)
a f(N-1) =f(N) a
2. Mostre os seguintes resultados em que é um estado coerente
a)
b)
c)
3. a) Numa rotação infinitesimal um vector transforma-se de
acordo com
em que
é o ângulo infinitesimal de rotação e
o eixo da rotação. Mostre que os geradores Li das rotações, em
coordenadas cartesianas, são portanto representados pelas matrizes
. Verifique que estas matrizes constituem uma
representação de momento angular com l=1, verificando
que as relações de comutação
e a relação
, são satisfeitas, e verificando que esta é
a forma que os operadores
tomam na base
.
b) Dada uma matriz , em que
são as
matrizes de Pauli, mostre que a0 e
são dados por:
4. Considere um spin em interacção com um campo magnético dado por
.
Dado que o efeito de um campo magnético sobre um spin é uma precessão em torno desse campo, é possível tratar exactamente este problema passando para um referencial que roda em torno do eixo dos z com velocidade angular
.
Obtenha a expressão do spinor em função do tempo. Admitindo que estava inicialmente no estado |+>, vector próprio de Sz, determine a probabilidade de transição para o estado |-> e determine quando é que essa probabilidade é máxima (condição de ressonância em ressonância magnética nuclear).
5. Considere um oscilador harmónico, cuja função de onda no instante de
tempo inicial t=ti é dada por uma função de onda gausseana
, sendo a, b, c constantes complexas,
com
, ou, equivalentemente, dada por
a) Verifique que esta função é solução da equação de Schödinger e determine as equações de evolução dos parâmetros a,b,c.
b) Particularize para uma partícula livre, fazendo a frequência do oscilador harmónico . Obtenha a expressão de a em função do tempo, e obtenha
e
em função do tempo, mostrando o espalhamento da função de onda.
c) Passe a considerar variáveis adimensionais , bem como
.Mostre que
oscilam no tempo com uma frequência
, mantendo a sua soma constante. Determine
.
d) Verifique que <X>,<P> satisfazem as equações clássicas de movimento
e) Verifique que a equação de evolução para cr é automaticamente
satisfeita por , pois a norma da função de onda é conservada.
f) Obtenha a equação de evolução da fase di.
g) Compare os resultados obtidos com os encontrados no caso de um estado coerente.
6. Considere o estado de um oscilador harmónico a uma
dimensão representado pela função de onda
A função de onda do estado coerente é dada por:
7. As matrizes de Pauli satisfazem a identidade
8. Considere o Hamiltoniano do átomo de hidrogénio
Mostre que o vector de Runge-Lenz
9. Um sistema quântico magnético é perturbado acoplando-o a um campo magnético externo, de acordo com o Hamiltoneano
Mostre que a alteração da magnetização é dada, na chamada resposta linear, por
10. Demonstre as seguintes identidades, válidas para dois operadores quaisquerA e B:
Como exemplo, calcule
11. Demonstre que, se o hamiltoneano H(t) depender de um parâmetro
,
se verifica:
12. a) Mostre que as representações de spin das
rotações podem ser escritas da forma
b) Mostre que as representações de spin 1 das rotações podem ser escritas da forma
Particularize para uma rotação em torno do eixo dos z.
c) Mostre, usando o resultado da alínea b), que o operador momento angular
na representação J tem, em virtude de ser um operador
vectorial, de satisfazer a
Verifique explicitamente esta relação para spin usando os resultados da alínea a).
13) No efeito de Zeeman a interação de um átomo com um campo magnético é descrita pelo Hamiltoneano
Obtenha a expressão
14. Considere os operadores J+ = Jx + iJy e J-=Jx- iJy, onde Jx, Jy, Jz são as componentes do operador momento angular e |jmj> os vectores próprios de J2, Jz.
a) Prove que satisfazem às relações de comutação [J2,J+]=0,
[J2,J-]=0, ,
,
.
b) Obtenha as equações que exprimem a acção de J+ e J- em |jmj>.
15. Considere um sistema de duas partículas com momento angular J1 e J2, e momento angular total J. Os estados deste sistema podem ser representados em duas bases distintas, embora não independentes, conforme acoplamos ou não os momentos individuais.
a) Represente essas bases.
b) Como poderá expandir um vector de uma base, em função dos elementos da outra base?
c) Supondo que os vectores são ortogonais e os coeficientes da expansão reais obtenha uma relação de ortogonalidade para esses coeficientes.
d) Usando os operadores J1+,J2+,J1-,J2-,J+,J-, obtenha uma relação de recorrência para os coeficientes.
e) A partir de d) obtenha o coeficiente para j1 = j2 e j=0.
16. Construir os estados de spin total de dois electrões independentes.
17. Construir os estados de momento angular total de duas partículas independentes, com j1 = 1 e j2 = 1/2.
18. Considere o vector , que tem as propriedades de um tensor
irredutível de primeira ordem, com
, onde
é a matriz de Pauli satisfazendo
e
. Usando
o teorema de Wigner-Eckart, determine os elementos de matrix de
na base |nlsjmj >.
19. A componente do momento angular Lz é uma das componentes de um tensor irredutível de primeira ordem. Usando o teorema de Wigner-Eckart, determine os elementos de matrix de Lz na base |nlsjmj >.
20. O vector posição é um tensor irredutível de primeira
ordem, quando definido por r0 = z,
,
, o que equivale a
.Usando o teorema de Wigner-Eckart, determine os elementos de matrix de
na base |nlm >.
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