1. Prove que a aproximação WKB de ordem mais baixa, à função de onda, reproduz a densidade de probabilidade e a densidade de corrente clássicas.
2. Considere um potencial V(x), com um mínimo, e uma partícula num
estado ligado desse potencial, com energia E e número de onda k. Supondo
que a e b são os pontos de viragem clássicos, isto é, para
x = a, b, V(x) = E, mostre que , com
Relacione com a regra de quantificação de Bohr-Sommerfeld.
3. Considere uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento L.
Mostre que as energias seriam dadas por
, se usássemos
de uma forma descuidada a aproximação WKB. Mostre que a aproximação
WKB dá correctamente as energias.
4. Mostre que a aproximação WKB dá os níveis de energia exactos para um oscilador harmónico linear. Obtenha a função de onda do estado fundamental nesta aproximação, sem grandes detalhes de cálculo.
5. Considere uma barreira de potencial, e uma partícula incidente na barreira com energia E inferior à altura da barreira. Usando a aproximação WKB, e designando por a e b os pontos de retorno clássicos,
a) escreva a função de onda transmitida,
b) usando as fórmulas de ligação obtenha a função de onda no interior da barreira e na região de incidência,
c) tendo em conta o problema 1, mostre que o coeficiente de transmissão
é da forma .
6. Determine o coeficiente de transmissão através de uma barreira de
potencial da forma V(r) = 0, se r < a, e V(r) = A/r para r > a.
(Modelo para o decaimento de partículas dum núcleo.)
7. Determine o coeficiente de transmissão para a emissão de electrões dum metal quando posto num campo eléctrico constante segundo x, considerando para o metal um modelo unidimensional com os electrões num potencial V(r) = 0, se r < a, e V(r) = V0, para r > a.
a) Ponto de retorno a à direita da região clássica: